Номер 65, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 65, страница 150.

Условие.

19.65. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через середину отрезка $BO$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Найдите отношение площадей фигур, на которые эта прямая разбивает квадрат $ABCD$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан квадрат $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По свойствам квадрата, его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC \perp BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Пусть $M$ — середина отрезка $BO$. По условию, через точку $M$ проведена прямая $l$, параллельная диагонали $AC$ ($l \parallel AC$).

Прямая $l$ пересекает стороны квадрата $AB$ и $BC$ в некоторых точках, назовем их $P$ и $Q$ соответственно. Таким образом, прямая $l$ разбивает квадрат $ABCD$ на две фигуры: треугольник $PBQ$ и пятиугольник $APQCD$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $PQ$ лежит на прямой $l$, которая параллельна $AC$. Следовательно, $\triangle PBQ$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам (угол при вершине $B$ общий, а $\angle BPQ = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$ и $AC$ и секущей $AB$).

Для нахождения отношения площадей этих треугольников найдем их коэффициент подобия $k$. Высота $\triangle ABC$, опущенная из вершины $B$ на основание $AC$, — это отрезок $BO$. Высота $\triangle PBQ$, опущенная из вершины $B$ на основание $PQ$, — это отрезок $BM$.

Коэффициент подобия равен отношению высот:

$k = \frac{BM}{BO}$

По условию, $M$ — середина $BO$, значит $BM = \frac{1}{2}BO$.

Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{PBQ}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда, площадь треугольника $PBQ$ составляет четверть площади треугольника $ABC$: $S_{PBQ} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных по площади треугольника, поэтому площадь $\triangle ABC$ равна половине площади квадрата:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Теперь выразим площадь треугольника $PBQ$ через площадь всего квадрата:

$S_{PBQ} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) = \frac{1}{8} S_{ABCD}$

Итак, площадь одной из фигур, на которые прямая $l$ разбивает квадрат, равна $\frac{1}{8}$ площади квадрата. Обозначим эту площадь как $S_1$.

$S_1 = S_{PBQ} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$

Площадь второй фигуры (пятиугольника $APQCD$), обозначим $S_2$, будет равна разности площадей квадрата и первой фигуры:

$S_2 = S_{ABCD} - S_1 = S_{ABCD} - \frac{1}{8} S_{ABCD} = \frac{7}{8} S_{ABCD}$

Искомое отношение площадей этих двух фигур равно:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{8} S_{ABCD}}{\frac{7}{8} S_{ABCD}} = \frac{1}{7}$

Таким образом, площади фигур относятся как 1 к 7.

Ответ: 1:7.