Номер 66, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 66, страница 150.

Условие.

19.66. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом $a$, касается одного из катетов и проходит через вершину противолежащего ему острого угла. Найдите радиус этой окружности.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты $AC$ и $BC$ равны $a$. Разместим треугольник в системе координат так, чтобы вершина $C$ находилась в начале координат $(0, 0)$, вершина $A$ — в точке $(a, 0)$, а вершина $B$ — в точке $(0, a)$.

Гипотенуза $AB$ лежит на прямой, уравнение которой $x + y = a$.Центр окружности, точка $O$, принадлежит гипотенузе, следовательно, её координаты $(x_O, y_O)$ удовлетворяют уравнению $x_O + y_O = a$.

По условию, окружность касается одного из катетов. Без ограничения общности, предположим, что она касается катета $AC$, который лежит на оси $Ox$. Радиус $R$ окружности, касающейся оси $Ox$, равен ординате её центра. Таким образом, $R = y_O$.

Также по условию, окружность проходит через вершину острого угла, противолежащего этому катету. Катету $AC$ противолежит вершина $B$ с координатами $(0, a)$. Это означает, что расстояние от центра окружности $O(x_O, y_O)$ до точки $B(0, a)$ равно радиусу $R$.

Используем формулу расстояния между двумя точками:$OB^2 = (x_O - 0)^2 + (y_O - a)^2 = R^2$$x_O^2 + (y_O - a)^2 = R^2$

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения $R$:1. $x_O + y_O = a$2. $R = y_O$3. $x_O^2 + (y_O - a)^2 = R^2$

Подставим $R = y_O$ во второе и третье уравнения. Из первого уравнения выразим $x_O = a - y_O$. Подставим это в третье уравнение:$(a - y_O)^2 + (y_O - a)^2 = y_O^2$

Так как $(y_O - a)^2 = (-(a - y_O))^2 = (a - y_O)^2$, уравнение принимает вид:$(a - y_O)^2 + (a - y_O)^2 = y_O^2$$2(a - y_O)^2 = y_O^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$\sqrt{2} |a - y_O| = |y_O|$

Поскольку центр окружности находится внутри треугольника (или на его границе), его ордината $y_O$ (которая равна радиусу $R$) должна быть положительной и меньше катета $a$. То есть $0 < y_O < a$. Следовательно, выражение $a - y_O$ также положительно. Мы можем убрать знаки модуля:$\sqrt{2}(a - y_O) = y_O$

Решим это уравнение относительно $y_O$:$a\sqrt{2} - y_O\sqrt{2} = y_O$$a\sqrt{2} = y_O + y_O\sqrt{2}$$a\sqrt{2} = y_O(1 + \sqrt{2})$$y_O = \frac{a\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:$y_O = \frac{a\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{a(2 - \sqrt{2})}{2 - 1} = a(2 - \sqrt{2})$

Так как $R = y_O$, радиус окружности равен $a(2 - \sqrt{2})$.

Ответ: $a(2 - \sqrt{2})$