Номер 55, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 55, страница 150.

Условие.

19.55. Объём правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $V$ - объем правильной треугольной призмы, а $V_{цил}$ - объем вписанного в нее цилиндра. Высота призмы и высота вписанного цилиндра одинаковы, обозначим ее $H$. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Обозначим длину его стороны как $a$.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: $V = S_{призмы} \cdot H$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{призмы} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Таким образом, объем призмы равен: $V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} H$.

Объем вписанного цилиндра также равен произведению площади его основания на высоту: $V_{цил} = S_{цилиндра} \cdot H$. Основанием цилиндра является круг, вписанный в равносторонний треугольник, который является основанием призмы. Радиус $r$ этого круга связан со стороной треугольника $a$ соотношением: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Площадь основания цилиндра равна: $S_{цилиндра} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$. Следовательно, объем цилиндра: $V_{цил} = \frac{\pi a^2}{12} H$.

Чтобы найти объем цилиндра через объем призмы $V$, выразим из формулы для объема призмы произведение $a^2 H$: $V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} H \implies a^2 H = \frac{4V}{\sqrt{3}}$. Теперь подставим это выражение в формулу для объема цилиндра: $V_{цил} = \frac{\pi}{12} (a^2 H) = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{4V}{\sqrt{3}} = \frac{4 \pi V}{12 \sqrt{3}} = \frac{\pi V}{3 \sqrt{3}}$. Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $V_{цил} = \frac{\pi V \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9} V$.

Ответ: $\frac{\pi \sqrt{3}}{9} V$.