Номер 49, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 49, страница 149.

Условие.

19.49. Металлический шар радиусом 15 см расплавили и из полученного металла отлили несколько шаров, радиусы которых равны 3 см. Сколько отлили таких шаров? Потерями металла при переплавке пренебречь.

Решение 1.

Решение 3.

Согласно условию задачи, потерями металла при переплавке можно пренебречь. Это означает, что объем исходного большого шара равен суммарному объему всех маленьких шаров, отлитых из него.

Объем шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

где $V$ — объем шара, а $R$ — его радиус.

1. Найдем объем большого шара.

Пусть $R_1$ — радиус большого шара, а $V_1$ — его объем. По условию, $R_1 = 15$ см.

Тогда объем большого шара равен:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 15^3$ см³.

2. Найдем объем одного маленького шара.

Пусть $R_2$ — радиус маленького шара, а $V_2$ — его объем. По условию, $R_2 = 3$ см.

Тогда объем одного маленького шара равен:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3$ см³.

3. Найдем количество маленьких шаров.

Пусть $N$ — искомое количество маленьких шаров. Чтобы найти $N$, нужно разделить объем большого шара на объем одного маленького шара:

$N = \frac{V_1}{V_2}$

$N = \frac{\frac{4}{3}\pi \cdot 15^3}{\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3}$

Сократим общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в числителе и знаменателе:

$N = \frac{15^3}{3^3}$

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получим:

$N = \left(\frac{15}{3}\right)^3 = 5^3 = 125$

Таким образом, из полученного металла отлили 125 маленьких шаров.

Ответ: 125.