Номер 47, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 47, страница 149.

Условие.

19.47. Ромб со стороной 6 см и углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно его стороне. Найдите объём образовавшегося тела.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a = 6$ см и острым углом при вершине A, равным $60°$. Согласно условию, ромб вращается вокруг прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне AB.

Для нахождения объёма образовавшегося тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена, которая гласит, что объём тела вращения равен произведению площади вращающейся фигуры $S$ на длину окружности, которую описывает её центроид: $V = 2\pi R_c S$, где $R_c$ — расстояние от центроида фигуры до оси вращения.

Сначала найдём площадь ромба $S$. Площадь ромба вычисляется по формуле произведения квадрата стороны на синус угла между сторонами: $S = a^2 \sin(60°) = 6^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см$^2$.

Далее определим расстояние $R_c$ от центроида ромба до оси вращения. Для этого введём декартову систему координат. Расположим вершину A в начале координат (0, 0), а сторону AB — вдоль оси Ox. В такой системе ось вращения будет совпадать с осью Oy. Найдём координаты вершин ромба:

• Вершина A имеет координаты (0, 0).
• Вершина B имеет координаты (6, 0).
• Вершина D имеет координаты ($6 \cdot \cos(60°)$, $6 \cdot \sin(60°)$), что равно (3, $3\sqrt{3}$).
• Вершина C является результатом сложения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, её координаты (6+3, 0+$3\sqrt{3}$), что равно (9, $3\sqrt{3}$).

Центроид ромба находится в точке пересечения его диагоналей, которая является серединой диагонали AC. Координаты центроида ($x_c, y_c$): $x_c = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 9}{2} = 4.5$ $y_c = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 3\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3}$ Расстояние от центроида до оси вращения (оси Oy) равно его абсциссе $x_c$. Таким образом, $R_c = 4.5$ см.

Теперь мы можем вычислить объём тела вращения, подставив найденные значения $S$ и $R_c$ в формулу: $V = 2\pi \cdot R_c \cdot S = 2\pi \cdot 4.5 \cdot 18\sqrt{3} = 9\pi \cdot 18\sqrt{3} = 162\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $162\pi\sqrt{3}$ см$^3$.