Номер 40, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 40, страница 148.

Условие.

19.40. В конус вписан шар, радиус которого равен 3 см. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 см.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение вписанного шара — окружность, вписанную в этот треугольник.

Обозначим:

• $R$ — радиус основания конуса, по условию $R = 6$ см.
• $r$ — радиус вписанного шара, по условию $r = 3$ см.
• $H$ — высота конуса, которую нужно найти.
• $L$ — образующая конуса.

Пусть осевое сечение — это равнобедренный треугольник $ABS$ с высотой $SO=H$, где $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания. Тогда $AO = R = 6$. Образующая $AS = L$. Центр вписанной окружности $O_1$ лежит на высоте $SO$. Радиус этой окружности равен радиусу шара $r=3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ASO$. По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.

Проведем радиус вписанной окружности $O_1K$ к точке касания с образующей $AS$. $O_1K$ перпендикулярен $AS$, и $O_1K = r = 3$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\Delta ASO$ и $\Delta A_1KO_1$. Они подобны по двум углам (у них общий острый угол при вершине $A$ и по одному прямому углу).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{SO}{O_1K} = \frac{AS}{AO_1}$

Выразим стороны через известные и неизвестные величины:

• $SO = H$
• $O_1K = r = 3$
• $AS = L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 6^2} = \sqrt{H^2 + 36}$
• $AO_1 = SO - SO_1 = H - r = H - 3$ (где $SO_1$ - расстояние от вершины до центра шара, а $AO_1$ - это не та сторона. Давайте использовать другой подобный треугольник.)

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники $\Delta ASO$ и $\Delta SKO_1$. Они подобны, так как у них общий острый угол при вершине $S$ и по одному прямому углу.

Из их подобия следует соотношение:

$\frac{AO}{O_1K} = \frac{AS}{SO_1}$

Выразим стороны:

• $AO = R = 6$
• $O_1K = r = 3$
• $AS = L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 36}$
• $SO_1 = SO - OO_1 = H - r = H - 3$

Подставим значения в пропорцию:

$\frac{6}{3} = \frac{\sqrt{H^2 + 36}}{H - 3}$

$2 = \frac{\sqrt{H^2 + 36}}{H - 3}$

Решим это уравнение относительно $H$. Заметим, что высота $H$ должна быть больше радиуса шара $r=3$, то есть $H > 3$.

$2(H - 3) = \sqrt{H^2 + 36}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2(H-3))^2 = (\sqrt{H^2 + 36})^2$

$4(H^2 - 6H + 9) = H^2 + 36$

$4H^2 - 24H + 36 = H^2 + 36$

$4H^2 - H^2 - 24H = 36 - 36$

$3H^2 - 24H = 0$

$3H(H - 8) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $H = 0$ и $H = 8$. Поскольку высота конуса не может быть равна нулю, единственным решением является $H = 8$ см.

Теперь, зная высоту и радиус основания, можем найти объем конуса.

Формула для объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Подставим известные значения $R=6$ и $H=8$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12\pi \cdot 8 = 96\pi$

Объем конуса равен $96\pi$ см³.

Ответ: $96\pi$ см³.