Номер 34, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 34, страница 148.

Условие.

19.34. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая его основания по хорде, которую видно из центра основания конуса под углом $α$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен $β$. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен $R$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса. По условию задачи радиус $R$ известен. Следовательно, для нахождения объёма необходимо определить высоту $H$.

Пусть $S$ — вершина конуса, а $O$ — центр его основания. Тогда высота конуса $H = SO$. Секущая плоскость проходит через две образующие $SA$ и $SB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания. Эта плоскость пересекает основание по хорде $AB$.

Рассмотрим треугольник $AOB$ в плоскости основания. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R$. По условию, угол, под которым хорда $AB$ видна из центра основания, равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$. Проведём в треугольнике $AOB$ высоту $OM$ на сторону $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой, поэтому $M$ — середина $AB$, и $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника $OMA$ находим длину катета $OM$: $OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = R \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Угол между секущей плоскостью ($ASB$) и плоскостью основания равен $\beta$. Этот угол является двугранным углом при ребре $AB$. Для измерения двугранного угла строят его линейный угол. Для этого к ребру $AB$ в одной точке (в нашем случае, в точке $M$) проводят два перпендикуляра, лежащие в разных плоскостях.

В плоскости основания мы уже построили перпендикуляр $OM \perp AB$. В секущей плоскости рассмотрим треугольник $ASB$. Он является равнобедренным, так как $SA=SB$ как образующие одного конуса. Поэтому его медиана $SM$ является также и высотой, то есть $SM \perp AB$.

Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, этот угол равен $\beta$, то есть $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он является прямоугольным, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $OM$. Таким образом, $\angle SOM = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен катет $OM = R \cos(\frac{\alpha}{2})$ и прилежащий к нему острый угол $\beta$. Мы можем найти второй катет $SO = H$ через тангенс угла $\beta$: $\tan(\beta) = \frac{SO}{OM}$.

Отсюда выражаем высоту $H$: $H = SO = OM \cdot \tan(\beta) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Теперь, когда мы нашли высоту, мы можем вычислить объём конуса, подставив выражение для $H$ в исходную формулу: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi R^2 \left(R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right) = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.