Номер 27, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 27, страница 147.

Условие.

19.27. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $90^\circ$, а из центра верхнего основания – под углом $60^\circ$. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен $R$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма цилиндра $V$ используется формула $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота цилиндра. Площадь основания, являющегося кругом с радиусом $R$, равна $S_{осн} = \pi R^2$. Таким образом, задача сводится к нахождению высоты $H$.

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $O_2$ — центр верхнего основания. Пусть $AB$ — хорда, проведенная в нижнем основании. По условию, радиус основания равен $R$, следовательно, отрезки, соединяющие центр нижнего основания с концами хорды, равны радиусу: $O_1A = O_1B = R$.

Хорда видна из центра нижнего основания под углом $90^\circ$, то есть $\angle AO_1B = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. Он является равнобедренным и прямоугольным. Длину хорды $AB$ можно найти по теореме Пифагора: $AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Отсюда $AB = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Хорда видна из центра верхнего основания $O_2$ под углом $60^\circ$, то есть $\angle AO_2B = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. Отрезки $O_2A$ и $O_2B$ являются наклонными от центра верхнего основания к окружности нижнего. Их длины равны, так как они являются гипотенузами в равных прямоугольных треугольниках $\triangle O_2O_1A$ и $\triangle O_2O_1B$ (катеты $O_1A=O_1B=R$ и общий катет $O_1O_2=H$). Таким образом, треугольник $\triangle AO_2B$ — равнобедренный с основанием $AB$. Поскольку угол при вершине $\angle AO_2B$ равен $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним, и все его стороны равны: $O_2A = O_2B = AB = R\sqrt{2}$.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2O_1A$, где $O_1O_2=H$ и $O_1A=R$ — катеты, а $O_2A$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $O_2A^2 = O_1O_2^2 + O_1A^2$ $O_2A^2 = H^2 + R^2$

Мы знаем, что $O_2A = R\sqrt{2}$, подставим это значение в уравнение: $(R\sqrt{2})^2 = H^2 + R^2$ $2R^2 = H^2 + R^2$ $H^2 = 2R^2 - R^2$ $H^2 = R^2$ Поскольку высота $H$ является длиной, $H > 0$, следовательно, $H=R$.

Наконец, вычислим объём цилиндра: $V = \pi R^2 H = \pi R^2 \cdot R = \pi R^3$.

Ответ: $V = \pi R^3$.