Номер 20, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20, страница 147.

Условие.

19.20. Во сколько раз надо увеличить радиус шара, чтобы его объём увеличился в 5 раз?

Решение 1.

Решение 3.

Объём шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

где $V$ – это объём, а $R$ – это радиус шара.

Пусть $V_1$ и $R_1$ – это первоначальные объём и радиус шара, а $V_2$ и $R_2$ – это новые значения после увеличения.

Соответственно, мы имеем следующие соотношения:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$

По условию задачи, новый объём в 5 раз больше первоначального:

$V_2 = 5 \cdot V_1$

Подставим формулы для объёмов в это равенство:

$\frac{4}{3}\pi R_2^3 = 5 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right)$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{4}{3}\pi$:

$R_2^3 = 5 \cdot R_1^3$

Нам нужно найти, во сколько раз надо увеличить радиус, то есть найти отношение $\frac{R_2}{R_1}$. Для этого разделим обе части уравнения на $R_1^3$:

$\frac{R_2^3}{R_1^3} = 5$

Это можно записать как:

$\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 = 5$

Чтобы найти искомое отношение радиусов, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{5}$

Следовательно, чтобы объём шара увеличился в 5 раз, его радиус необходимо увеличить в $\sqrt[3]{5}$ раз.

Ответ: в $\sqrt[3]{5}$ раз.