Номер 15, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 15, страница 146.

Условие.

19.15. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов – 5 см. Найдите объём тела, полученного в результате вращения этого треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. По условию задачи, гипотенуза $c = 13$ см, а один из катетов, назовем его $a$, равен $5$ см.

Для начала найдем длину второго катета $b$ с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставляем известные значения:
$5^2 + b^2 = 13^2$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25$
$b^2 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов, представляет собой конус. В данном случае вращение происходит вокруг катета длиной 5 см. Этот катет является высотой конуса ($h$), а второй катет — радиусом его основания ($r$).

Таким образом, параметры конуса:
Высота $h = 5$ см.
Радиус основания $r = 12$ см.

Объём конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим значения $r$ и $h$ в формулу для нахождения объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (12)^2 \cdot 5$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5$
$V = 48 \cdot 5 \cdot \pi$
$V = 240 \pi$ см³

Ответ: $240 \pi$ см³.