Номер 12, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 12, страница 146.

Условие.

19.12. Осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, а радиус основания конуса равен $R$. Найдите объём конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса.

По условию задачи, радиус основания конуса равен $R$, то есть $r=R$.

Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($l$), а основанием – диаметр основания конуса ($d$).

По условию, это сечение является равносторонним треугольником. Это значит, что все его стороны равны: $l = d$.

Диаметр основания связан с радиусом соотношением $d = 2r$. Так как $r = R$, то $d = 2R$.

Следовательно, сторона равностороннего треугольника равна $2R$. Образующая конуса также равна $l = 2R$.

Высота конуса $h$ является высотой этого равностороннего треугольника. Высоту, радиус и образующую связывает прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$.

Подставим известные значения:
$h^2 + R^2 = (2R)^2$
$h^2 + R^2 = 4R^2$
$h^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2$
$h = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Теперь мы можем вычислить объём конуса, подставив значения $r=R$ и $h=R\sqrt{3}$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 (R\sqrt{3}) = \frac{\pi R^3 \sqrt{3}}{3}$

Ответ: $V = \frac{\pi R^3 \sqrt{3}}{3}$