Номер 5, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 5, страница 146.

Условие.

19.5. Высота цилиндра равна $H$, а осевое сечение цилиндра является квадратом. Найдите объём цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$,

где $V$ — объём, $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D$.

По условию задачи, осевое сечение является квадратом. У квадрата все стороны равны, следовательно, высота цилиндра равна диаметру его основания:

$H = D$.

Диаметр основания связан с радиусом соотношением $D = 2R$. Отсюда мы можем выразить радиус основания через высоту:

$H = 2R \implies R = \frac{H}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение для радиуса в формулу объёма цилиндра:

$V = \pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 H$.

Выполним преобразования:

$V = \pi \frac{H^2}{4} H = \frac{\pi H^3}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi H^3}{4}$.