Номер 11, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 11, страница 146.

Условие.

19.11. Куча щебня имеет форму конуса, радиус основания которого 2,1 м, а образующая – 3,5 м. Сколько тонн составляет масса щебня, собранного в эту кучу, если масса $1 \text{ м}^3$ щебня равна 3 т? Ответ округлите до единиц.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо найти объем кучи щебня, которая имеет форму конуса, а затем умножить этот объем на массу одного кубического метра щебня.

1. Нахождение высоты конуса.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота. В условии даны радиус $r = 2,1$ м и образующая $l = 3,5$ м. Высоту конуса $h$ можно найти, используя теорему Пифагора, так как радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим числовые значения:

$h = \sqrt{(3,5)^2 - (2,1)^2} = \sqrt{12,25 - 4,41} = \sqrt{7,84} = 2,8$ м.

2. Вычисление объема конуса.

Теперь, зная высоту, можем вычислить объем конуса. Для удобства вычислений примем значение $\pi \approx \frac{22}{7}$:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot (2,1)^2 \cdot 2,8$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 4,41 \cdot 2,8 = \frac{1 \cdot 22 \cdot 4,41 \cdot 2,8}{3 \cdot 7}$

Сократим $4,41$ и $3$ (так как $4,41/3 = 1,47$), а также $2,8$ и $7$ (так как $2,8/7 = 0,4$):

$V = 22 \cdot 1,47 \cdot 0,4 = 12,936$ м³.

3. Нахождение массы щебня.

Известно, что масса 1 м³ щебня составляет 3 тонны. Чтобы найти общую массу, умножим объем на эту величину:

$M = V \cdot 3 \text{ т/м}^3 = 12,936 \text{ м}^3 \cdot 3 \text{ т/м}^3 = 38,808$ т.

4. Округление результата.

По условию задачи, ответ нужно округлить до единиц.

$38,808 \approx 39$ т.

Ответ: 39.