Номер 13, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 13, страница 146.

Условие.

19.13 Найдите объём конуса, высота которого равна 4 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен $30^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $V$ – объём, $R$ – радиус основания, а $H$ – высота конуса.

Из условия задачи нам известна высота $H = 4$ см.

Высота конуса $H$, его образующая $L$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол между образующей и плоскостью основания – это угол между гипотенузой $L$ и катетом $R$. По условию, этот угол равен $30^\circ$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу.

Мы можем найти радиус основания $R$, используя тангенс угла в $30^\circ$:

$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R}$

Выразим отсюда радиус $R$:

$R = \frac{H}{\tan(30^\circ)}$

Подставим известные значения $H=4$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$R = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4$

$V = \frac{1}{3} \pi (16 \cdot 3) \cdot 4$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 48 \cdot 4$

$V = 16\pi \cdot 4 = 64\pi$ см³.

Ответ: $64\pi$ см³.