Номер 19, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 19, страница 147.

Условие.

19.19. Докажите, что объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов.

Решение 1.

Решение 3.

19.19.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два шара. Пусть радиус первого шара равен $R_1$, а его объём — $V_1$. Радиус второго шара — $R_2$, а его объём — $V_2$.

Объём шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

где $V$ — объём, а $R$ — радиус шара.

Запишем формулы объёма для каждого из наших двух шаров:

Для первого шара: $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Для второго шара: $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Теперь найдём отношение объёма первого шара к объёму второго:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3}$

В этом выражении можно сократить общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в числителе и знаменателе:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$

Это и доказывает, что объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение объемов двух шаров равно отношению кубов их радиусов, то есть $\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.