Номер 17, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 17, страница 147.

Условие.

19.17. Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 3 см, а образующая равна $2\sqrt{5}$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$,
где $h$ – высота конуса, $R$ и $r$ – радиусы его оснований.

В условии даны радиусы оснований $R = 3$ см и $r = 1$ см, а также образующая $l = 2\sqrt{5}$ см. Высота $h$ неизвестна.

Найдём высоту конуса. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой – образующая $l$.

Согласно теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Подставим известные значения и найдём $h$:
$(2\sqrt{5})^2 = h^2 + (3 - 1)^2$
$4 \cdot 5 = h^2 + 2^2$
$20 = h^2 + 4$
$h^2 = 20 - 4$
$h^2 = 16$
$h = 4$ см.

Теперь можем вычислить объём усечённого конуса, подставив все известные величины в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot (3^2 + 3 \cdot 1 + 1^2)$
$V = \frac{4\pi}{3} (9 + 3 + 1)$
$V = \frac{4\pi}{3} \cdot 13$
$V = \frac{52\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{52\pi}{3}$ см$^3$.