Номер 22, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22, страница 147.

Условие.

19.22. Найдите объём шара, описанного около куба, ребро которого равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма шара, описанного около куба, необходимо сначала определить радиус этого шара. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — его радиус.

Шар называется описанным около куба, если все восемь вершин куба лежат на поверхности шара. Из этого следует, что центр шара совпадает с центром куба, а диаметр шара $D$ равен главной диагонали куба $d$.

Пусть ребро куба равно $a$. Главную диагональ куба можно найти по теореме Пифагора. Сначала найдем диагональ $d_г$ одной из граней куба. Грань является квадратом со стороной $a$, поэтому:

$d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d_г = a\sqrt{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный главной диагональю куба $d$, диагональю грани $d_г$ и ребром куба $a$. Главная диагональ $d$ будет гипотенузой в этом треугольнике.

$d^2 = d_г^2 + a^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Следовательно, главная диагональ куба равна:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Диаметр описанного шара $D$ равен главной диагонали куба:

$D = d = a\sqrt{3}$

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная радиус, можем вычислить объём шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3(\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{3\sqrt{3}a^3}{8}$

Сократим полученное выражение:

$V = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \pi a^3}{3 \cdot 8} = \frac{12\sqrt{3}\pi a^3}{24} = \frac{\sqrt{3}\pi a^3}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{2}$