Номер 29, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 29, страница 147.

Условие.

19.29. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Диагональ полученного сечения составляет с осью цилиндра угол $\beta$ и удалена от неё на расстоянии, равное $d$. Найдите объём цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Наша задача — выразить $R$ и $H$ через данные величины: $\alpha$, $\beta$ и $d$.

Секущая плоскость параллельна оси цилиндра и удалена от неё на расстояние $d$. В основании цилиндра эта плоскость отсекает хорду. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси (т.е. рассмотрим основание). Это круг радиуса $R$. Хорда находится на расстоянии $d$ от центра круга. Эта хорда стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$, следовательно, центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $\alpha$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведёнными к концам хорды, и самой хордой. Высота этого треугольника, опущенная из центра на хорду, равна $d$ и делит центральный угол $\alpha$ пополам. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это радиус $R$, один из катетов — расстояние $d$, а прилежащий к этому катету угол равен $\frac{\alpha}{2}$.

Из этого прямоугольного треугольника находим радиус $R$:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{R}$
Следовательно, $R = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь найдём высоту цилиндра $H$. Сечение цилиндра плоскостью представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — хорда в основании, её длину обозначим $w$. Другая сторона — высота цилиндра $H$.
Длину хорды $w$ найдём из того же прямоугольного треугольника в основании. Второй катет этого треугольника равен половине длины хорды, т.е. $\frac{w}{2}$.
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{w/2}{d}$, откуда $w = 2d \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Диагональ сечения образует с осью цилиндра угол $\beta$. Так как боковая сторона прямоугольника сечения (равная $H$) параллельна оси цилиндра, то угол между диагональю и этой стороной равен $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и сторонами прямоугольника $w$ и $H$. В этом треугольнике:
$\tan(\beta) = \frac{w}{H}$
Отсюда выразим высоту $H$:
$H = \frac{w}{\tan(\beta)} = \frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$.

Теперь, имея выражения для $R$ и $H$, мы можем найти объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \left(\frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 \cdot \frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$
$V = \pi \frac{d^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{2d \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}}{\tan(\beta)}$
$V = \frac{2\pi d^3 \sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos^3(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}$

Ответ: $V = \frac{2\pi d^3 \sin(\alpha/2)}{\cos^3(\alpha/2) \tan(\beta)}$