Номер 31, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 31, страница 148.

Условие.

19.31. В основании конуса хорда, равная $a$, стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $\beta$. Найдите объём конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

Для вычисления объёма нам необходимо найти $R$ и $H$ через заданные в условии величины $a$, $\alpha$ и $\beta$.

1. Нахождение радиуса основания $R$.

В основании конуса лежит круг. Хорда длиной $a$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, вершинами которого являются центр окружности основания и концы хорды. Две стороны этого треугольника равны радиусу $R$, а третья сторона — хорде $a$. Угол между радиусами равен $\alpha$.

Применим к этому треугольнику теорему косинусов:

$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = 2R^2(1 - \cos(\alpha))$

Используя тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим:

$a^2 = 2R^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда выразим радиус $R$:

$R = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Нахождение высоты конуса $H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через образующую. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса $H$ и радиус основания $R$, а гипотенузой — образующая конуса. Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике этот угол прилежит к катету $R$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan(\beta) = \frac{H}{R}$

Выразим высоту $H$:

$H = R \tan(\beta)$

Подставим найденное ранее выражение для $R$:

$H = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta)$

3. Вычисление объёма конуса $V$.

Подставим полученные выражения для $R$ и $H$ в формулу объёма конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 \left( \frac{a \tan(\beta)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)$

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a \tan(\beta)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

$V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin^3(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{24\sin^3(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{24\sin^3(\alpha/2)}$