Номер 26, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 26, страница 147.

Условие.

19.26. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, стягивающая дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, если его образующая равна $m$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма цилиндра $V$ воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра.

По условию, образующая цилиндра равна $m$. Для прямого цилиндра высота равна образующей, следовательно, $H = m$. Наша задача сводится к нахождению радиуса основания $R$.

Обозначим центр нижнего основания как $O_1$, а центр верхнего – как $O_2$. Пусть $AB$ – хорда в нижнем основании, которая стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$. Пусть $K$ – середина хорды $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$ в плоскости нижнего основания. Этот треугольник является равнобедренным, так как $O_1A = O_1B = R$. Центральный угол $\angle AO_1B$, опирающийся на дугу $AB$, равен ее градусной мере, то есть $\angle AO_1B = \alpha$.

Так как $K$ – середина $AB$, отрезок $O_1K$ является медианой, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, а значит, также является его высотой и биссектрисой. Следовательно, $\triangle AO_1K$ – прямоугольный, и $\angle AO_1K = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AO_1K$ выразим расстояние от центра основания до середины хорды, $O_1K$, через радиус $R$:$O_1K = R \cdot \cos(\angle AO_1K) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь рассмотрим отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O_2$ с серединой хорды $K$. Это отрезок $O_2K$. По условию, он образует с плоскостью основания угол $\beta$. Угол между наклонной ($O_2K$) и плоскостью – это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $O_2$ на плоскость нижнего основания является точка $O_1$. Следовательно, проекцией отрезка $O_2K$ является отрезок $O_1K$. Таким образом, угол, о котором идет речь в условии, – это $\angle O_2KO_1 = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1O_2K$. Он является прямоугольным, так как высота цилиндра $O_1O_2$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая $O_1K$. Катет $O_1O_2$ равен высоте цилиндра $H=m$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle O_1O_2K$ имеем:$\tan(\beta) = \frac{O_1O_2}{O_1K} = \frac{m}{O_1K}$.Отсюда выразим $O_1K$:$O_1K = \frac{m}{\tan(\beta)} = m \cot(\beta)$.

Мы получили два выражения для длины отрезка $O_1K$. Приравняем их, чтобы найти радиус $R$:$R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = m \cot(\beta)$.Отсюда:$R = \frac{m \cot(\beta)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

Теперь мы можем найти объём цилиндра, подставив выражения для $R$ и $H$ в формулу объёма:$V = \pi R^2 H = \pi \left(\frac{m \cot(\beta)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right)^2 \cdot m = \pi \frac{m^2 \cot^2(\beta)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot m$.

Окончательно получаем:$V = \frac{\pi m^3 \cot^2(\beta)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.

Ответ: $\frac{\pi m^3 \cot^2(\beta)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$