Номер 32, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 32, страница 148.

Условие.

19.32. Хорда основания конуса стягивает дугу, градусная мера которой равна 60°. Отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания конуса угол 60°. Высота конуса равна $\sqrt{3}$ см. Найдите объём конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим вершину конуса как S, центр его основания как O, а концы хорды в основании как A и B. Высота конуса H — это отрезок SO, перпендикулярный плоскости основания. По условию задачи, $H = SO = \sqrt{3}$ см.

Хорда AB стягивает дугу с градусной мерой $60^\circ$. Это означает, что соответствующий центральный угол $\angle AOB$ также равен $60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ в основании конуса. Стороны OA и OB являются радиусами основания, поэтому $OA = OB = R$. Таким образом, $\triangle AOB$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$. Это значит, что $\triangle AOB$ — равносторонний, и все его стороны равны радиусу основания: $AB = OA = OB = R$.

Пусть M — середина хорды AB. В равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ отрезок OM, соединяющий вершину O с серединой противоположной стороны M, является медианой, высотой и биссектрисой. Следовательно, $OM \perp AB$. Длину высоты OM в равностороннем треугольнике со стороной R можно найти по формуле: $OM = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Согласно условию, отрезок SM, соединяющий вершину конуса S с серединой хорды M, образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Проекцией наклонной SM на плоскость основания является отрезок OM. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Таким образом, $\angle SMO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Он является прямоугольным, так как высота конуса SO перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, включая OM, следовательно, $\angle SOM = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны катет $SO = H = \sqrt{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SMO = 60^\circ$. Мы можем найти второй катет OM, используя тангенс угла $\angle SMO$: $\text{tg}(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$ $\text{tg}(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{OM}$ Так как $\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем: $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{OM}$ Отсюда следует, что $OM = 1$ см.

Теперь, зная длину OM, мы можем найти радиус основания R из соотношения, полученного ранее: $OM = \frac{R\sqrt{3}}{2}$ $1 = \frac{R\sqrt{3}}{2}$ $R = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Объём конуса V вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Найдем квадрат радиуса: $R^2 = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}$ см$^2$. Подставим значения $R^2$ и $H$ в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{4\pi\sqrt{3}}{9} \text{ см}^3$.