Номер 37, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 37, страница 148.

Условие.

19.37. Найдите объём тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу этого треугольника, если известны его катет $a$ и прилежащий к этому катету угол $\beta$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катет, прилежащий к углу $\beta$, будет $BC=a$, тогда $\angle B = \beta$.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы $AB$ образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиусом $R$ этого общего основания является высота треугольника $CH$, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Высотами конусов являются отрезки $AH$ и $BH$, на которые высота $CH$ делит гипотенузу $AB$.

Объём всего тела вращения $V$ равен сумме объёмов этих двух конусов:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AH + \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot BH = \frac{1}{3}\pi R^2 (AH + BH)$.

Так как $AH + BH = AB$ (длина гипотенузы), формула для объёма принимает вид:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AB$.

Теперь необходимо выразить радиус $R = CH$ и длину гипотенузы $AB$ через заданные параметры $a$ и $\beta$.

Из прямоугольного треугольника $ABC$ находим длину гипотенузы $AB$:
$\cos\beta = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{AB} \Rightarrow AB = \frac{a}{\cos\beta}$.

Теперь найдём радиус $R=CH$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ (где $\angle H = 90^\circ$). В нём $BC=a$ является гипотенузой, а $\angle B = \beta$.
$\sin\beta = \frac{CH}{BC} \Rightarrow CH = BC \cdot \sin\beta = a\sin\beta$.
Таким образом, радиус общего основания конусов $R = a\sin\beta$.

Подставим найденные выражения для $AB$ и $R$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3}\pi (a\sin\beta)^2 \cdot \left(\frac{a}{\cos\beta}\right) = \frac{1}{3}\pi (a^2\sin^2\beta) \frac{a}{\cos\beta} = \frac{\pi a^3 \sin^2\beta}{3\cos\beta}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^2\beta}{3\cos\beta}$.