Номер 42, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 42, страница 148.

Условие.

Рис. 19.3

19.42. Из сосуда, имеющего форму конуса, высота которого равна 8 см, а диаметр основания – 12 см, и наполненного до краёв водой, перелили воду в сосуд, имеющий форму цилиндра (рис. 19.3).

Диаметр основания цилиндра равен 8 см. Какой наименьшей должна быть высота цилиндрического сосуда, чтобы вода из него не выливалась?

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо приравнять объем воды в коническом сосуде к объему, который эта вода займет в цилиндрическом сосуде. Наименьшая высота цилиндра будет равна высоте уровня воды в нем.

1. Находим объем воды в коническом сосуде.

Объем конуса ($V_{к}$) рассчитывается по формуле:

$V_{к} = \frac{1}{3}\pi R_{к}^2 H_{к}$

где $R_{к}$ — радиус основания конуса, а $H_{к}$ — его высота.

По условию, высота конуса $H_{к} = 8$ см, а диаметр его основания $D_{к} = 12$ см. Радиус основания конуса равен половине диаметра:

$R_{к} = \frac{D_{к}}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$

Теперь можем вычислить объем конуса, который равен объему воды:

$V_{воды} = V_{к} = \frac{1}{3}\pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 8 \text{ см} = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 12\pi \cdot 8 \text{ см}^3 = 96\pi \text{ см}^3$

2. Находим высоту цилиндрического сосуда.

Объем, который вода займет в цилиндре ($V_{ц}$), равен объему самой воды ($96\pi \text{ см}^3$). Объем цилиндра рассчитывается по формуле:

$V_{ц} = \pi R_{ц}^2 H_{ц}$

где $R_{ц}$ — радиус основания цилиндра, а $H_{ц}$ — высота уровня воды в нем.

По условию, диаметр основания цилиндра $D_{ц} = 8$ см. Его радиус:

$R_{ц} = \frac{D_{ц}}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$

Теперь приравняем объем воды к формуле объема цилиндра и найдем высоту $H_{ц}$:

$96\pi \text{ см}^3 = \pi \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot H_{ц}$

$96\pi = 16\pi \cdot H_{ц}$

Выразим высоту $H_{ц}$:

$H_{ц} = \frac{96\pi}{16\pi} = 6 \text{ см}$

Таким образом, наименьшая высота цилиндрического сосуда, чтобы вода из него не выливалась, должна быть равна 6 см.

Ответ: 6 см.