Номер 46, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 46, страница 149.

Условие.

19.46. Радиус одного из оснований усечённого конуса в 4 раза больше радиуса другого основания. Высота усечённого конуса равна 8 см, а диагональ его осевого сечения – 17 см. Найдите объём усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, а $h$ — его высота.

Из условия задачи имеем:
Радиус одного основания в 4 раза больше радиуса другого: $R = 4r$.
Высота конуса: $h = 8$ см.
Диагональ осевого сечения: $d = 17$ см.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобокой трапецией, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), а высота равна высоте конуса ($h$). Диагональ этой трапеции равна $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю $d$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и отрезком на большем основании (второй катет). Длина этого отрезка равна сумме радиусов $R+r$.

По теореме Пифагора получаем соотношение:
$d^2 = h^2 + (R+r)^2$

Подставим известные значения в уравнение:
$17^2 = 8^2 + (R+r)^2$
$289 = 64 + (R+r)^2$
$(R+r)^2 = 289 - 64$
$(R+r)^2 = 225$
$R+r = \sqrt{225}$
$R+r = 15$ см (поскольку радиусы — положительные величины).

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения радиусов:
$\begin{cases} R = 4r \\ R+r = 15 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:
$4r + r = 15$
$5r = 15$
$r = 3$ см.

Теперь найдём радиус большего основания:
$R = 4r = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $R$, $r$ и заданное значение $h$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot (12^2 + 12 \cdot 3 + 3^2)$
$V = \frac{8\pi}{3} (144 + 36 + 9)$
$V = \frac{8\pi}{3} (189)$
$V = 8\pi \cdot \frac{189}{3}$
$V = 8\pi \cdot 63$
$V = 504\pi$ см$^3$.

Ответ: $504\pi$ см$^3$.