Номер 50, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 50, страница 149.

Условие.

19.50. Три металлических шара, радиусы которых равны 3 см, 4 см и 5 см, расплавили и из полученного металла отлили один шар. Каков радиус полученного шара? Потерями металла при переплавке пренебречь.

Решение 1.

Решение 3.

Согласно условию задачи, три металлических шара переплавляют в один. Так как потерями металла пренебрегают, объем получившегося шара равен сумме объемов трех исходных шаров.

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ – радиус шара.

Найдем объемы трех исходных шаров с радиусами $r_1 = 3$ см, $r_2 = 4$ см и $r_3 = 5$ см.
Объем первого шара: $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 27$ см³.
Объем второго шара: $V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi (4^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 64$ см³.
Объем третьего шара: $V_3 = \frac{4}{3}\pi r_3^3 = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 125$ см³.

Суммарный объем равен:
$V_{общ} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 + \frac{4}{3}\pi \cdot 64 + \frac{4}{3}\pi \cdot 125$
Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобки:
$V_{общ} = \frac{4}{3}\pi (27 + 64 + 125) = \frac{4}{3}\pi (216)$ см³.

Пусть $R$ – радиус нового шара. Его объем $V_{новый}$ равен суммарному объему исходных шаров:
$V_{новый} = \frac{4}{3}\pi R^3$
Приравняем выражения для объема:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216$

Разделим обе части уравнения на $\frac{4}{3}\pi$:
$R^3 = 216$
Чтобы найти радиус $R$, извлечем кубический корень из 216:
$R = \sqrt[3]{216} = 6$ см.

Ответ: 6 см.