Номер 57, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 57, страница 150.

Условие.

19.57. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма конуса, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо определить его высоту $H$ и радиус основания $R$. Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Конус, описанный около пирамиды, имеет общую с ней вершину и высоту. Основанием конуса является окружность, описанная около основания пирамиды.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды ($H$) опускается из её вершины в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Радиус основания конуса ($R$) равен радиусу окружности, описанной около квадрата, то есть половине его диагонали.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (которое равно $b$), высотой пирамиды ($H$) и радиусом описанной окружности ($R$). В этом треугольнике:

• боковое ребро $b$ является гипотенузой;
• высота $H$ и радиус $R$ являются катетами;
• угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $\alpha$. Этот угол как раз и находится в нашем треугольнике — между гипотенузой $b$ и катетом $R$.

Используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике, найдём $H$ и $R$:
Высота конуса: $H = b \cdot \sin(\alpha)$.
Радиус основания конуса: $R = b \cdot \cos(\alpha)$.

Теперь подставим полученные выражения для $H$ и $R$ в формулу объёма конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (b \cos(\alpha))^2 (b \sin(\alpha))$
$V = \frac{1}{3} \pi (b^2 \cos^2(\alpha)) (b \sin(\alpha))$
$V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$

Ответ: $ \frac{1}{3} \pi b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha) $.