Номер 54, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 54, страница 149.

Условие.

19.54. Образующая конуса равна $a$, а угол между нею и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть образующая конуса равна $a$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$. Для нахождения объёма описанного шара необходимо сначала найти его радиус $R$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $a$, а основание — диаметру основания конуса. Сечением шара является большая окружность, которая описана около этого треугольника. Таким образом, радиус шара $R$ — это радиус окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Пусть $H$ — высота конуса, а $r$ — радиус его основания. Они являются катетами в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является образующая $a$. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $a$ и катетом $r$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $H = a \cdot \sin \alpha$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника (осевого сечения конуса) с боковой стороной $a$ и высотой $H$, опущенной на основание, можно найти по формуле $R = \frac{a^2}{2H}$.

Подставим найденное выражение для $H$:
$R = \frac{a^2}{2(a \sin \alpha)} = \frac{a}{2 \sin \alpha}$.

Теперь найдем объём шара по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3}{8 \sin^3 \alpha}$.

Упростим полученное выражение:
$V = \frac{4\pi a^3}{3 \cdot 8 \sin^3 \alpha} = \frac{4\pi a^3}{24 \sin^3 \alpha} = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}$.