Номер 48, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 48, страница 149.

Условие.

19.48. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона – 10 см. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно к этому основанию. Найдите объём образовавшегося тела.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AC — основание, а AB и BC — боковые стороны. По условию, $AC = 12$ см, $AB = BC = 10$ см. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании (например, C) перпендикулярно этому основанию.

Для нахождения объема образовавшегося тела вращения введем систему координат. Пусть вершина C находится в начале координат (0,0), а основание AC лежит на оси Ox. Тогда ось вращения совпадет с осью Oy. В этой системе координат вершина A будет иметь координаты (12, 0).

Найдем координаты вершины B. Проведем высоту BH к основанию AC. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BH является также и медианой, поэтому точка H — середина отрезка AC. Координаты точки H будут (6, 0). Длина отрезка $HC = 6$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. По теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 6^2 = 10^2$

$BH^2 + 36 = 100$

$BH^2 = 64$

$BH = 8$ см.

Таким образом, высота треугольника равна 8 см, а координаты вершины B — (6, 8).

Тело вращения образуется при вращении треугольника ABC вокруг оси Oy. Объем этого тела можно найти с помощью метода колец (интегрированием). Объем тела вращения, образованного вращением фигуры вокруг оси Oy, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (R(y)^2 - r(y)^2) dy$

где $R(y)$ — внешний радиус (расстояние от оси вращения до более дальней границы фигуры), а $r(y)$ — внутренний радиус (расстояние до ближней границы). В нашем случае фигура — это треугольник ABC, вращение происходит в пределах от $y=0$ до $y=8$.

Внешней границей фигуры является отрезок AB, а внутренней — отрезок CB. Найдем уравнения прямых, содержащих эти отрезки, выразив $x$ через $y$.

1. Прямая CB проходит через точки C(0,0) и B(6,8). Ее уравнение: $\frac{x}{6} = \frac{y}{8}$, откуда $x = \frac{6}{8}y = \frac{3}{4}y$. Это внутренний радиус: $r(y) = \frac{3}{4}y$.

2. Прямая AB проходит через точки A(12,0) и B(6,8). Уравнение прямой: $\frac{y-0}{8-0} = \frac{x-12}{6-12} \Rightarrow \frac{y}{8} = \frac{x-12}{-6}$. Выразим $x$: $-6y = 8(x-12) \Rightarrow -6y = 8x - 96 \Rightarrow 8x = 96 - 6y \Rightarrow x = 12 - \frac{3}{4}y$. Это внешний радиус: $R(y) = 12 - \frac{3}{4}y$.

Теперь подставим эти функции в интеграл. Интегрирование проводится по $y$ от 0 до 8 (высота треугольника):

$V = \pi \int_{0}^{8} \left[ \left(12 - \frac{3}{4}y\right)^2 - \left(\frac{3}{4}y\right)^2 \right] dy$

Упростим подынтегральное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\left(12 - \frac{3}{4}y - \frac{3}{4}y\right) \left(12 - \frac{3}{4}y + \frac{3}{4}y\right) = \left(12 - \frac{6}{4}y\right)(12) = \left(12 - \frac{3}{2}y\right) \cdot 12 = 144 - 18y$

Вычислим интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{8} (144 - 18y) dy = \pi \left[ 144y - 18\frac{y^2}{2} \right]_{0}^{8} = \pi \left[ 144y - 9y^2 \right]_{0}^{8}$

$V = \pi \left( (144 \cdot 8 - 9 \cdot 8^2) - (144 \cdot 0 - 9 \cdot 0^2) \right)$

$V = \pi (1152 - 9 \cdot 64) = \pi (1152 - 576) = 576\pi$

Объем образовавшегося тела равен $576\pi$ см³.

Альтернативное решение (по второй теореме Гульдина):

Объем тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры: $V = 2\pi R S$.

Площадь треугольника ABC: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Центр масс треугольника с вершинами A($x_A, y_A$), B($x_B, y_B$), C($x_C, y_C$) имеет координаты $x_{ц} = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$, $y_{ц} = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Используя найденные координаты A(12,0), B(6,8), C(0,0):

$x_{ц} = \frac{12+6+0}{3} = \frac{18}{3} = 6$

Расстояние $R$ от центра масс до оси вращения (оси Oy) равно абсциссе центра масс, то есть $R = x_{ц} = 6$ см.

Теперь находим объем:

$V = 2\pi \cdot R \cdot S = 2\pi \cdot 6 \cdot 48 = 12\pi \cdot 48 = 576\pi$ см³.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $576\pi$ см³.