Номер 21, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 21, страница 147.

Условие.

19.21. Объёмы двух шаров относятся как $8 : 125$. Найдите отношение их радиусов.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $V_1$ и $V_2$ — объёмы двух шаров, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы.

Формула объёма шара с радиусом $R$ выглядит так:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

По условию задачи, отношение объёмов двух шаров составляет 8 к 125:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{125}$

Запишем отношение объёмов, используя формулу для объёма шара:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3}$

Сократив общий множитель $\frac{4}{3}\pi$, получим:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3$

Теперь приравняем полученное выражение к заданному отношению объёмов:

$(\frac{R_1}{R_2})^3 = \frac{8}{125}$

Чтобы найти отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}$

Так как $2^3 = 8$ и $5^3 = 125$, получаем:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{5}$

Таким образом, отношение радиусов двух шаров равно 2:5.

Ответ: 2:5