Номер 14, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 14, страница 146.

Условие.

19.14. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из углов – 60°. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей катет, прилежащий к данному углу.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза $c = 10$ см, а один из острых углов равен $60^\circ$. Обозначим катет, прилежащий к этому углу, как $a$, а катет, противолежащий этому углу, как $b$.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. В данном случае вращение происходит вокруг прямой, содержащей катет, прилежащий к углу $60^\circ$, то есть вокруг катета $a$.

Таким образом, высота конуса $H$ будет равна длине катета $a$, а радиус основания конуса $R$ будет равен длине катета $b$.

Найдем длины катетов, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

Высота конуса $H$ (катет $a$, прилежащий к углу $60^\circ$):
$H = a = c \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Радиус основания конуса $R$ (катет $b$, противолежащий углу $60^\circ$):
$R = b = c \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу:
$V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi (25 \cdot 3) \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5 = 25 \pi \cdot 5 = 125\pi$ см³.

Ответ: $125\pi$ см³.