Номер 16, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 16, страница 147.

Условие.

19.16. Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 8 см и 14 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания равен $45^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $h$ – высота конуса.

Из условия задачи нам известны радиусы оснований: $R = 14$ см и $r = 8$ см.

Чтобы найти высоту $h$, рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Если из вершины меньшего основания опустить перпендикуляр на большее основание, мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота усечённого конуса $h$ и отрезок, равный разности радиусов оснований $R - r$. Гипотенузой будет образующая конуса. Угол между образующей и плоскостью большего основания – это угол между гипотенузой и катетом $R-r$ в этом треугольнике, и он равен $45^\circ$.

Таким образом, мы можем найти высоту $h$ из соотношения в этом прямоугольном треугольнике:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{R-r}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$h = R - r = 14 - 8 = 6$ см.

Теперь, имея все необходимые данные, можем вычислить объём усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot (14^2 + 14 \cdot 8 + 8^2)$

$V = 2\pi (196 + 112 + 64)$

$V = 2\pi \cdot 372$

$V = 744\pi$ см³.

Ответ: $744\pi$ см³.