Номер 23, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 23, страница 147.

Условие.

19.23. Найдите объём шара, вписанного в куб, ребро которого равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан куб с ребром, равным $a$. В этот куб вписан шар.

По определению, шар, вписанный в куб, касается центра каждой из шести граней куба. Это означает, что расстояние между противоположными гранями куба равно диаметру вписанного шара. Расстояние между противоположными гранями куба равно его ребру $a$.

Следовательно, диаметр шара $D$ равен ребру куба $a$:

$D = a$

Радиус шара $R$ равен половине его диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{a}{2}$

Объём шара $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим выражение для радиуса $R = \frac{a}{2}$ в формулу объёма шара:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8}$

Теперь упростим полученное выражение:

$V = \frac{4\pi a^3}{3 \cdot 8} = \frac{4\pi a^3}{24}$

Сократим числовой коэффициент $\frac{4}{24}$ на 4:

$V = \frac{\pi a^3}{6}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{6}$