Номер 6, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 6, страница 146.

Условие.

Другом. Найдите объем цилиндра.

19.6. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

19.6.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. Диагональ этого прямоугольника $D$, высота $h$ и диаметр $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $D$ — гипотенуза.

Согласно условию задачи, диагональ осевого сечения $D = 20$ см, а угол, который она образует с плоскостью основания (то есть с диаметром $d$), равен $\alpha = 30^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а диаметр $d$ — катетом, прилежащим к этому углу. Мы можем найти их значения, используя тригонометрические соотношения:
$h = D \cdot \sin(\alpha) = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.
$d = D \cdot \cos(\alpha) = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставим найденные значения радиуса и высоты:
$V = \pi \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot 10 = \pi \cdot (25 \cdot 3) \cdot 10 = \pi \cdot 75 \cdot 10 = 750\pi$ см$^3$.

Ответ: $750\pi \text{ см}^3$.