Номер 9, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 9, страница 153.

Условие.

20.9. Площадь сечения шара плоскостью, удалённой от его центра на 4 см, равна $24\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Решение 1.

Решение 3.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Обозначим радиус этого круга как $r$. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{сеч} = \pi r^2$.

По условию, площадь сечения равна $24\pi$ см². Используя эту информацию, мы можем найти квадрат радиуса сечения:

$\pi r^2 = 24\pi$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получаем:

$r^2 = 24$ см²

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами. Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r^2$

Из условия задачи известно, что расстояние от центра до плоскости $d = 4$ см. Подставим известные значения $d$ и $r^2$ в формулу:

$R^2 = 4^2 + 24$

$R^2 = 16 + 24$

$R^2 = 40$ см²

Теперь мы можем найти площадь поверхности шара, используя формулу $S_{шара} = 4\pi R^2$.

Подставим найденное значение $R^2$:

$S_{шара} = 4\pi \cdot 40$

$S_{шара} = 160\pi$ см²

Ответ: $160\pi$ см².