Номер 13, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 13, страница 153.

Условие.

20.13. Два сечения шара имеют только одну общую точку, а их плоскости перпендикулярны. Радиус одного сечения равен 5 см, а радиус другого – 12 см. Найдите площадь поверхности шара.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр. Сечениями шара являются круги. Обозначим радиусы этих кругов как $r_1 = 5$ см и $r_2 = 12$ см, а их центры — $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Расстояние от центра шара до плоскости сечения ($d$), радиус сечения ($r$) и радиус шара ($R$) связаны теоремой Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Для наших двух сечений мы можем записать:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2$, где $d_1 = OO_1$
$R^2 = d_2^2 + r_2^2$, где $d_2 = OO_2$

По условию, плоскости сечений перпендикулярны. Отрезки $OO_1$ и $OO_2$ перпендикулярны соответствующим плоскостям сечений. Следовательно, эти отрезки перпендикулярны друг другу, то есть $\angle O_1OO_2 = 90^\circ$.

Два сечения имеют только одну общую точку, назовем ее $P$. Это означает, что окружности, ограничивающие сечения, касаются друг друга в этой точке. Точка $P$ принадлежит обоим сечениям и, следовательно, поверхности шара.

Рассмотрим фигуру, образованную точками $O$, $O_1$, $O_2$ и $P$.

• Поскольку отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости первого сечения, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O_1$. Точка $P$ и центр $O_1$ лежат в этой плоскости, значит, $OO_1 \perp O_1P$. Таким образом, $\triangle OO_1P$ — прямоугольный.
• Аналогично, отрезок $OO_2$ перпендикулярен плоскости второго сечения, поэтому $OO_2 \perp O_2P$. Таким образом, $\triangle OO_2P$ — прямоугольный.

В четырех точках $O, O_1, P, O_2$ мы имеем три взаимно перпендикулярных отрезка с общим началом $O$: $OO_1 \perp OO_2$, $OO_1 \perp O_1P$, $OO_2 \perp O_2P$. Это означает, что $OO_1PO_2$ является прямоугольником.

Из свойств прямоугольника следует равенство противоположных сторон:
$d_1 = OO_1 = O_2P$. Так как $P$ лежит на окружности второго сечения, $O_2P = r_2 = 12$ см. Значит, $d_1 = 12$ см.
$d_2 = OO_2 = O_1P$. Так как $P$ лежит на окружности первого сечения, $O_1P = r_1 = 5$ см. Значит, $d_2 = 5$ см.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса шара $R^2$, используя одно из начальных соотношений:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное значение $R^2$:
$S = 4\pi \cdot 169 = 676\pi$ см$^2$.

Ответ: $676\pi$ см$^2$.