Номер 19, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 19, страница 153.

Условие.

20.19. Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны $S_1$ и $S_2$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Согласно теореме Пифагора, их длины связаны соотношением: $a^2 + b^2 = c^2$.

Площадь поверхности шара $S$ с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Так как радиус $r$ равен половине диаметра, то есть $r = d/2$, формулу можно переписать через диаметр: $S = 4\pi (\frac{d}{2})^2 = 4\pi \frac{d^2}{4} = \pi d^2$.

По условию задачи, катеты $a$ и $b$ являются диаметрами меньших шаров, а гипотенуза $c$ — диаметром большего шара (так как гипотенуза всегда длиннее катетов). Площади поверхностей меньших шаров равны $S_1$ и $S_2$. Обозначим площадь поверхности большего шара как $S_c$.

Используя выведенную формулу, мы можем записать следующие соотношения:
Площадь поверхности первого меньшего шара: $S_1 = \pi a^2$
Площадь поверхности второго меньшего шара: $S_2 = \pi b^2$
Площадь поверхности большего шара: $S_c = \pi c^2$

Из этих формул выразим квадраты сторон треугольника:
$a^2 = \frac{S_1}{\pi}$
$b^2 = \frac{S_2}{\pi}$

Теперь подставим эти выражения для квадратов катетов в уравнение теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$\frac{S_1}{\pi} + \frac{S_2}{\pi} = c^2$

Упростим левую часть:

$\frac{S_1 + S_2}{\pi} = c^2$

Теперь умножим обе части равенства на $\pi$:

$S_1 + S_2 = \pi c^2$

Мы знаем, что площадь поверхности большего шара $S_c = \pi c^2$. Следовательно, мы можем заменить правую часть уравнения на $S_c$:

$S_c = S_1 + S_2$

Таким образом, площадь поверхности большего шара равна сумме площадей поверхностей двух меньших шаров.
Ответ: $S_1 + S_2$