Номер 18, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 18, страница 153.

Условие.

20.18. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник.

Найдите отношение площади сферы, вписанной в данный конус, к площади сферы, описанной около него.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $a$. Тогда образующая конуса $l = a$, а диаметр основания равен $a$, следовательно, радиус основания конуса $R_{кон} = a/2$. Высота конуса $H$ совпадает с высотой равностороннего треугольника и равна $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Сфера, вписанная в конус, и сфера, описанная около него, имеют центры на оси конуса. В осевом сечении эти сферы представляют собой окружности, вписанную и описанную около равностороннего треугольника со стороной $a$.

Найдем радиус $r$ вписанной сферы. Он равен радиусу вписанной в равносторонний треугольник окружности. Центр вписанной окружности в равностороннем треугольнике (инцентр) совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом) и делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 1/3 высоты треугольника. $r = \frac{1}{3}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Площадь поверхности вписанной сферы $S_{вп}$ вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$: $S_{вп} = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = 4\pi \frac{3a^2}{36} = \frac{12\pi a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{3}$.

Теперь найдем радиус $R$ описанной сферы. Он равен радиусу описанной около равностороннего треугольника окружности. Центр описанной окружности (циркумцентр) также совпадает с точкой пересечения медиан. Радиус описанной окружности равен 2/3 высоты треугольника. $R = \frac{2}{3}H = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Площадь поверхности описанной сферы $S_{оп}$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$: $S_{оп} = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 4\pi \frac{3a^2}{9} = \frac{12\pi a^2}{9} = \frac{4\pi a^2}{3}$.

Искомое отношение площадей: $\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{\pi a^2}{3}}{\frac{4\pi a^2}{3}} = \frac{\pi a^2}{3} \cdot \frac{3}{4\pi a^2} = \frac{1}{4}$.

Заметим, что отношение площадей сфер равно квадрату отношения их радиусов: $\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 = \left(\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}\right)^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{3}{a\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{3}{6}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.