Номер 12, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 12, страница 153.

Условие.

20.12. Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны $400\pi \text{ см}^2$ и $49\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 9 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара. Сечениями шара являются круги, площадь которых вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга.

Найдем радиусы двух данных сечений:
Для первого сечения с площадью $S_1 = 400\pi$ см²:
$\pi r_1^2 = 400\pi \implies r_1^2 = 400 \implies r_1 = 20$ см.
Для второго сечения с площадью $S_2 = 49\pi$ см²:
$\pi r_2^2 = 49\pi \implies r_2^2 = 49 \implies r_2 = 7$ см.

Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей сечений с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра до сечения $h$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + h^2$.

Для наших сечений имеем систему уравнений:
$R^2 = r_1^2 + h_1^2 = 20^2 + h_1^2 = 400 + h_1^2$
$R^2 = r_2^2 + h_2^2 = 7^2 + h_2^2 = 49 + h_2^2$

По условию, сечения расположены по одну сторону от центра. Сечение с большим радиусом ($r_1 = 20$ см) находится ближе к центру, следовательно, $h_1 < h_2$. Расстояние между плоскостями сечений равно 9 см, значит:
$h_2 - h_1 = 9 \implies h_2 = h_1 + 9$.

Приравняем выражения для $R^2$ и подставим $h_2$:
$400 + h_1^2 = 49 + h_2^2$
$400 + h_1^2 = 49 + (h_1 + 9)^2$
$400 + h_1^2 = 49 + h_1^2 + 18h_1 + 81$
$400 = 130 + 18h_1$
$18h_1 = 400 - 130$
$18h_1 = 270$
$h_1 = \frac{270}{18} = 15$ см.

Теперь найдем квадрат радиуса шара $R^2$:
$R^2 = 400 + h_1^2 = 400 + 15^2 = 400 + 225 = 625$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.
$S_{шара} = 4\pi \cdot 625 = 2500\pi$ см².

Ответ: $2500\pi$ см².