Номер 14, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 14, страница 153.

Условие.

20.14. Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по разные стороны от его центра, равны $9\pi$ см$^2$ и $25\pi$ см$^2$. Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $r_1$ и $r_2$ — радиусы двух параллельных сечений. Площадь сечения (круга) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Найдем радиусы каждого из сечений:
Для первого сечения с площадью $S_1 = 9\pi$ см²:
$\pi r_1^2 = 9\pi$
$r_1^2 = 9$
$r_1 = 3$ см.

Для второго сечения с площадью $S_2 = 25\pi$ см²:
$\pi r_2^2 = 25\pi$
$r_2^2 = 25$
$r_2 = 5$ см.

Рассмотрим осевое сечение шара, перпендикулярное плоскостям данных сечений. В этом сечении шар представляет собой окружность радиуса $R$, а сечения — две параллельные хорды. Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей сечений. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $h$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + h^2$.

Для наших двух сечений мы можем составить систему уравнений:
1) $R^2 = r_1^2 + h_1^2 = 3^2 + h_1^2 = 9 + h_1^2$
2) $R^2 = r_2^2 + h_2^2 = 5^2 + h_2^2 = 25 + h_2^2$

По условию, сечения расположены по разные стороны от центра шара, поэтому расстояние между их плоскостями равно сумме расстояний от центра до каждой из плоскостей:
$h_1 + h_2 = 8$ см.
Выразим $h_2$ через $h_1$: $h_2 = 8 - h_1$.

Приравняем правые части уравнений для $R^2$:
$9 + h_1^2 = 25 + h_2^2$
Подставим выражение для $h_2$:
$9 + h_1^2 = 25 + (8 - h_1)^2$
$9 + h_1^2 = 25 + 64 - 16h_1 + h_1^2$
$9 = 89 - 16h_1$
$16h_1 = 89 - 9$
$16h_1 = 80$
$h_1 = 5$ см.

Теперь найдем квадрат радиуса шара $R^2$, подставив значение $h_1$ в первое уравнение:
$R^2 = 9 + h_1^2 = 9 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ см².

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$.
$S_{сферы} = 4\pi \cdot 34 = 136\pi$ см².

Ответ: $136\pi$ см².