Номер 21, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 21, страница 153.

Условие.

20.21. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью её основания угол $\beta$. Найдите площадь поверхности шара, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды $SABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катет $AC = a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = \alpha$.

Найдем стороны треугольника $ABC$. Второй катет $BC$ и гипотенуза $AB$ равны:
$BC = AC \cdot \tan(\alpha) = a \cdot \tan(\alpha)$
$AB = \frac{AC}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

По условию, все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы. Обозначим эту точку $O$.

Таким образом, $O$ - середина $AB$, а $SO$ - высота пирамиды, $H=SO$.

Радиус окружности, описанной около основания ($R_{\text{осн}}$), равен половине гипотенузы:
$R_{\text{осн}} = OA = OB = OC = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$

Угол $\beta$ - это угол между боковым ребром (например, $SA$) и его проекцией на плоскость основания ($OA$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Угол $\angle SAO = \beta$. Высоту пирамиды $H$ можно найти из этого треугольника:
$H = SO = OA \cdot \tan(\beta) = R_{\text{осн}} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \cdot \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной около основания окружности, то есть на прямой $SO$. Обозначим радиус описанной сферы как $R$. Для пирамиды, у которой вершина проецируется в центр описанной около основания окружности, радиус описанной сферы можно найти по формуле:
$R = \frac{L^2}{2H}$, где $L$ - длина бокового ребра.

Из того же прямоугольного треугольника $SOA$ найдем квадрат длины бокового ребра $L = SA$:
$L = \frac{OA}{\cos(\beta)} = \frac{R_{\text{осн}}}{\cos(\beta)}$
$L^2 = \frac{R_{\text{осн}}^2}{\cos^2(\beta)}$

Подставим выражения для $L^2$ и $H$ в формулу для радиуса сферы:
$R = \frac{R_{\text{осн}}^2 / \cos^2(\beta)}{2 \cdot R_{\text{осн}} \cdot \tan(\beta)} = \frac{R_{\text{осн}}}{2\cos^2(\beta)\tan(\beta)} = \frac{R_{\text{осн}}}{2\cos^2(\beta) \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}} = \frac{R_{\text{осн}}}{2\sin(\beta)\cos(\beta)}$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta) $, получаем:
$R = \frac{R_{\text{осн}}}{\sin(2\beta)}$

Теперь подставим значение $R_{\text{осн}}$:
$R = \frac{a / (2\cos(\alpha))}{\sin(2\beta)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)\sin(2\beta)}$

Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Найдем $R^2$:
$R^2 = \left( \frac{a}{2\cos(\alpha)\sin(2\beta)} \right)^2 = \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)}$

Теперь вычислим площадь поверхности сферы:
$S = 4\pi \cdot \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)} = \frac{\pi a^2}{\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)}$

Ответ: $ \frac{\pi a^2}{\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)} $