Номер 20, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20, страница 153.

Условие.

20.20. Один из углов треугольника равен $120^\circ$. Стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны $S_1$ и $S_2$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Пусть угол, равный $120^\circ$, является углом между сторонами $a$ и $b$. Тогда сторона $c$, лежащая напротив этого угла, является наибольшей стороной треугольника, поскольку в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, а угол $120^\circ$ является тупым и, следовательно, наибольшим в треугольнике.

Площадь поверхности шара $S$ с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S = \pi d^2$.

Так как стороны треугольника $a, b, c$ являются диаметрами трех шаров, то их площади поверхностей равны:
$S_a = \pi a^2$
$S_b = \pi b^2$
$S_c = \pi c^2$

Поскольку $c$ — наибольшая сторона, шар с диаметром $c$ является большим шаром. Два других шара — меньшие. По условию, их площади поверхностей равны $S_1$ и $S_2$. Таким образом, мы можем положить $S_a = S_1$ и $S_b = S_2$. Площадь поверхности большего шара, которую нужно найти, это $S_c$.

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения связи между сторонами треугольника. Для стороны $c$ и противолежащего ей угла $120^\circ$ теорема косинусов записывается в виде:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -1/2$. Подставим это значение в уравнение:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-1/2)$
$c^2 = a^2 + b^2 + ab$

Теперь выразим стороны треугольника через площади поверхностей соответствующих шаров.
Из $S_1 = \pi a^2$ следует, что $a^2 = \frac{S_1}{\pi}$ и $a = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$.
Из $S_2 = \pi b^2$ следует, что $b^2 = \frac{S_2}{\pi}$ и $b = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$.
Искомая площадь $S_c$ связана со стороной $c$ как $c^2 = \frac{S_c}{\pi}$.

Подставим эти выражения для $a^2, b^2, c^2, a$ и $b$ в уравнение, полученное из теоремы косинусов:
$\frac{S_c}{\pi} = \frac{S_1}{\pi} + \frac{S_2}{\pi} + \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$
$\frac{S_c}{\pi} = \frac{S_1 + S_2}{\pi} + \frac{\sqrt{S_1 S_2}}{\pi}$

Умножив обе части уравнения на $\pi$, получим итоговую формулу для площади поверхности большего шара:
$S_c = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}$
Ответ: $S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}$