Номер 17, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 17, страница 153.

Условие.

20.17 Осевым сечением цилиндра является квадрат. Площадь полной поверхности цилиндра равна $S$. Найдите площадь сферы, описанной около данного цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а его высота равна $h$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра, со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $2r$. По условию, это сечение является квадратом, следовательно, его стороны равны:

$h = 2r$

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($2S_{осн}$).

$S_{осн} = \pi r^2$

$S_{бок} = 2\pi rh$

$S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

Подставим в эту формулу соотношение $h = 2r$:

$S = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$

Из этого выражения мы можем найти $r^2$:

$r^2 = \frac{S}{6\pi}$

Теперь рассмотрим сферу, описанную около цилиндра. Центр описанной сферы совпадает с центром цилиндра. Радиус сферы $R$ можно найти из прямоугольного треугольника, катеты которого — это радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$, а гипотенуза — это радиус сферы $R$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Так как $h = 2r$, то $\frac{h}{2} = r$. Подставим это в формулу:

$R^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$

Площадь поверхности сферы ($S_{сферы}$) вычисляется по формуле:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

Подставим выражение для $R^2$:

$S_{сферы} = 4\pi (2r^2) = 8\pi r^2$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $r^2 = \frac{S}{6\pi}$:

$S_{сферы} = 8\pi \cdot \frac{S}{6\pi} = \frac{8S}{6} = \frac{4S}{3}$

Ответ: $\frac{4S}{3}$