Номер 19, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 19, страница 161.

Условие.

21.19. При каких значениях $x$ векторы $\vec{a} (x; -2; 1)$ и $\vec{b} (x; 2x; 3)$ перпендикулярны?

Решение 1.

Решение 3.

Два вектора являются перпендикулярными (ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Заданы векторы $\vec{a}(x; -2; 1)$ и $\vec{b}(x; 2x; 3)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b}(b_1; b_2; b_3)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$.

Подставим координаты данных векторов в эту формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot x + (-2) \cdot (2x) + 1 \cdot 3 = x^2 - 4x + 3$.

Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Составим и решим уравнение: $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть $4$, а произведение корней равно свободному члену, то есть $3$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Либо можно решить уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$.

Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны при $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $1; 3$.