Номер 25, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 25, страница 161.

Условие.

21.25. Точка $M$ – середина ребра $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ – середина ребра $A_1B_1$. Найдите угол между прямыми $MB_1$ и $DK$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине A куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер: ось Ox вдоль AD, ось Oy вдоль AB, ось Oz вдоль AA₁.

Пусть длина ребра куба равна 2. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (0, 2, 0)$
• $D = (2, 0, 0)$
• $A_1 = (0, 0, 2)$
• $B_1 = (0, 2, 2)$

Точка M является серединой ребра AB. Найдем ее координаты:

$M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right) = \left(\frac{0+0}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (0, 1, 0)$.

Точка K является серединой ребра A₁B₁. Найдем ее координаты:

$K = \left(\frac{x_{A_1}+x_{B_1}}{2}; \frac{y_{A_1}+y_{B_1}}{2}; \frac{z_{A_1}+z_{B_1}}{2}\right) = \left(\frac{0+0}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{2+2}{2}\right) = (0, 1, 2)$.

Угол между скрещивающимися прямыми MB₁ и DK равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты этих векторов:

Для прямой MB₁ направляющим вектором является вектор $\vec{MB_1}$:

$\vec{MB_1} = (x_{B_1}-x_M; y_{B_1}-y_M; z_{B_1}-z_M) = (0-0; 2-1; 2-0) = (0; 1; 2)$.

Для прямой DK направляющим вектором является вектор $\vec{DK}$:

$\vec{DK} = (x_K-x_D; y_K-y_D; z_K-z_D) = (0-2; 1-0; 2-0) = (-2; 1; 2)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MB_1}$ и $\vec{DK}$:

$\vec{MB_1} \cdot \vec{DK} = 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 0 + 1 + 4 = 5$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{MB_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$.

$|\vec{DK}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь можем найти косинус угла между прямыми. Угол между прямыми является острым, поэтому мы берем модуль скалярного произведения, если оно отрицательно. В нашем случае оно положительно.

$\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot 3} = \frac{5\sqrt{5}}{5 \cdot 3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$