Номер 29, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 29, страница 161.

Условие.

чала координат на плоскость а. Составьте уравнение плоскости а.

21.29. При каком значении а плоскости $3x - 2y + z - 6 = 0$ и $2x - 3y + az + 2 = 0$ перпендикулярны?

Решение 1.

Решение 3.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$ перпендикулярны.

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Для первой плоскости $3x - 2y + z - 6 = 0$ нормальный вектор имеет координаты:

$\vec{n_1} = (3; -2; 1)$

Для второй плоскости $2x - 3y + az + 2 = 0$ нормальный вектор имеет координаты:

$\vec{n_2} = (2; -3; a)$

Найдем скалярное произведение этих векторов и приравняем его к нулю, чтобы найти значение $a$, при котором плоскости перпендикулярны:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$

$3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) + 1 \cdot a = 0$

$6 + 6 + a = 0$

$12 + a = 0$

Решая это уравнение, находим $a$:

$a = -12$

Ответ: $a = -12$.