Номер 24, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 24, страница 161.

Условие.

21.24. Дано: $\left|\vec{a}\right|=11$, $\left|\vec{b}\right|=23$, $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=30$. Найдите $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Квадрат модуля (длины) вектора равен скалярному произведению этого вектора на самого себя. То есть, для любого вектора $\vec{v}$ справедливо равенство $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Возведем в квадрат модуль разности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя данные из условия:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{a}| = 11$, $|\vec{b}| = 23$ и $|\vec{a} - \vec{b}| = 30$:

$30^2 = 11^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 23^2$

$900 = 121 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 529$

$900 = 650 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Отсюда найдем значение скалярного произведения, умноженного на 2:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 650 - 900$

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -250$

Теперь найдем искомый модуль суммы векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$. Для этого также возведем его в квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{a}|^2$, $|\vec{b}|^2$ и найденное значение $2(\vec{a} \cdot \vec{b})$:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 11^2 + (-250) + 23^2$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 121 - 250 + 529$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 650 - 250$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 400$

Чтобы найти модуль вектора $|\vec{a} + \vec{b}|$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{400} = 20$

Ответ: 20