Номер 18, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 18, страница 161.

Условие.

21.18. Найдите угол между векторами $\vec{a} (3; -2; 4)$ и $\vec{b} (2; 3; 0)$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения угла $ \theta $ между векторами $ \vec{a}(x_1; y_1; z_1) $ и $ \vec{b}(x_2; y_2; z_2) $ используется формула, связывающая скалярное произведение векторов и их модули:

$ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

где $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ — скалярное произведение векторов, а $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $ — их длины (модули).

Даны векторы $ \vec{a}(3; -2; 4) $ и $ \vec{b}(2; 3; 0) $.

1. Вычисление скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 $

Подставляем координаты наших векторов:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 4 \cdot 0 = 6 - 6 + 0 = 0 $

2. Вычисление длин (модулей) векторов

Длина вектора $ \vec{v}(x; y; z) $ вычисляется по формуле:

$ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $

Найдем длину вектора $ \vec{a} $:

$ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} $

Найдем длину вектора $ \vec{b} $:

$ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} $

Поскольку длины векторов не равны нулю, они являются ненулевыми.

3. Вычисление косинуса угла между векторами

Подставим найденные значения в основную формулу:

$ \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{13}} = 0 $

4. Нахождение угла

Угол $ \theta $, косинус которого равен нулю, составляет $ 90^\circ $ (или $ \frac{\pi}{2} $ радиан). Это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны).

Ответ: $ 90^\circ $.