Номер 23, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 23, страница 161.

Условие.

21.23. Известно, что $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=2\sqrt{2}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=135^\circ$. Найдите $|\vec{a}-\vec{b}|$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения модуля разности векторов $|\vec{a} - \vec{b}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. Это также эквивалентно использованию теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Квадрат модуля разности векторов выражается формулой:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$, а скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$, формула принимает вид:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

Найдем значение косинуса угла $135^\circ$:

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 + (4 \cdot 2) - 8\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 + 8 + \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 12 + \frac{8 \cdot 2}{2}$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 12 + 8 = 20$

Чтобы найти модуль $|\vec{a} - \vec{b}|$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$