Номер 26, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 26, страница 161.

Условие.

21.26. Точка $O_1$ – центр грани $A_1B_1C_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $O_2$ – центр грани $CC_1D_1D$. Найдите угол $BO_1O_2$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения угла $BO_1O_2$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине куба D. Направим оси Ox, Oy, Oz вдоль ребер DA, DC, DD₁ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

1. Определение координат точек
- Вершина B имеет координаты B($a, a, 0$).
- Точка O₁ — центр грани A₁B₁C₁D₁. Координаты вершин этой грани: A₁($a, 0, a$) и C₁(0, $a, a$). O₁ является серединой диагонали A₁C₁, поэтому ее координаты:
$O_1 = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.
- Точка O₂ — центр грани CC₁D₁D. Координаты вершин этой грани: C(0, $a, 0$) и D₁(0, 0, $a$). O₂ является серединой диагонали CD₁, поэтому ее координаты:
$O_2 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

2. Нахождение векторов
Искомый угол $BO_1O_2$ является углом между векторами $\vec{O_1B}$ и $\vec{O_1O_2}$. Найдем их координаты, вычитая из координат конца координаты начала:
$\vec{O_1B} = \left(a - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, 0 - a\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -a\right)$.
$\vec{O_1O_2} = \left(0 - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - a\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0, -\frac{a}{2}\right)$.

3. Вычисление косинуса угла
Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:
$\cos \alpha = \frac{\vec{O_1B} \cdot \vec{O_1O_2}}{|\vec{O_1B}| \cdot |\vec{O_1O_2}|}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{O_1B} \cdot \vec{O_1O_2} = \left(\frac{a}{2}\right)\left(-\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{a}{2}\right)(0) + (-a)\left(-\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{4} + 0 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.
Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{O_1B}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$|\vec{O_1O_2}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Подставим все в формулу для косинуса:
$\cos(\angle BO_1O_2) = \frac{\frac{a^2}{4}}{\left(a\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2\sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos(\angle BO_1O_2) = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Таким образом, искомый угол равен арккосинусу полученного значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$.