Номер 30, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 30, страница 161.

Условие.

21.30. Найдите значения $a$ и $b$, при которых плоскости $ax - 4y + 5z - 7 = 0$ и $3x + by - 2z + 2 = 0$ параллельны.

Решение 1.

Решение 3.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны. Условие коллинеарности векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

При этом, чтобы плоскости были именно параллельны, а не совпадали, это отношение не должно быть равно отношению свободных членов: $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$.

В нашем случае даны уравнения двух плоскостей:

1) $ax - 4y + 5z - 7 = 0$

2) $3x + by - 2z + 2 = 0$

Коэффициенты для первой плоскости: $A_1 = a$, $B_1 = -4$, $C_1 = 5$, $D_1 = -7$.

Коэффициенты для второй плоскости: $A_2 = 3$, $B_2 = b$, $C_2 = -2$, $D_2 = 2$.

Составим пропорцию согласно условию параллельности:

$\frac{a}{3} = \frac{-4}{b} = \frac{5}{-2}$

Из этой пропорции мы можем найти значения $a$ и $b$.

1. Найдем значение $a$, приравняв первую и третью части пропорции:

$\frac{a}{3} = \frac{5}{-2}$

$a = 3 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{15}{2} = -7.5$

2. Найдем значение $b$, приравняв вторую и третью части пропорции:

$\frac{-4}{b} = \frac{5}{-2}$

Перемножим крест-накрест:

$-4 \cdot (-2) = 5 \cdot b$

$8 = 5b$

$b = \frac{8}{5} = 1.6$

Проверим, что плоскости не совпадают. Отношение коэффициентов равно $\frac{5}{-2} = -2.5$. Найдем отношение свободных членов:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-7}{2} = -3.5$

Поскольку $-2.5 \neq -3.5$, плоскости параллельны, но не совпадают.

Ответ: $a = -7.5$, $b = 1.6$.